「牛顿」一π多吃，看看你是哪种吃π方式？

原文标题：一π多吃，看看你是哪种吃π方式？

" 亲爱哒，今天是什么日子鸭？"

" 当然知道啦 ~"

" 那你还不表示表示？"

" 因为我早已准备好——水果派！"

"？？"

（白色情人节是要吃水果派吗？）

" 今天是 π day 耶 ~

π day 吃派，谁都不爱 ~"

？！

！！

∵ π ≈ 3.14

∴ 3 月 14 日又称 "π 日 "（Pi Day）, 证完 .

01

π Day 的来源

很久很久以前—— 1988 年 3 月 14 日，在旧金山科学博物馆，物理学家 Larry Shaw带头整活——让大家绕博物馆纪念碑转了3 又 1/7 圈（π 的近似值），然后一起吃了水果派（派，即 π）。从此以后，这就成了旧金山科学博物馆的传统。2019 年 11 月 26 日，联合国科教文组织正式宣布 3 月 14 日为" 国际数学日 "，旨在庆祝" 数学在我们日常生活中的美丽与重要 "，所以今年是第三个 " 国际数学日 " 哦 ~

02

人与人吃 pi 的方式

并不相同

同一个世界同一个 π ——世界的圆不论大小，它的周长与直径的比值都是一样的；然而不同的人有着不同的 " 吃法 "。今天，我们就来盘点一下，那些经典的吃 piπ 方法。

几何人：我爱夹心派

几何人最经典的 "割圆法" 有着悠久的历史。以古希腊的数学家阿基米德（前 287 年 - 前 212 年）为代表，他在一个圆里做内接正多边形。随着边数的增加，这个正多边形将越来越接近圆。因此，只要算出正多边形的周长，再除以圆的直径，便能得到 π 的近似值。由于两点之间直线段比曲线段更短，所以内接多边形的周长一定小于圆的周长——因此，由内接正多边形算出来的，一定是 π 的下界。同理，若在圆外做外切正多边形，便能得到 π 的上界。真正的 π，就在两者之间。

几何人最爱的 " 夹心派 " 方法

来源：www.piday.org

阿基米德一直划分到了96 边形，得到的 π 值在 3.1408 和 3.1429 之间——这个精度已经可以解决许多实际问题了。值得一提的是，公元 480 年左右，我国古代数学家祖冲之用这个方法将 π 值精确到了小数点后 7 位，这个记录持续了近 800 年。就这样，人类在划分正多边形的路上一去不复返—— 16 世纪的荷兰数学家鲁道夫终其一生，将 π 算到了小数点后 35 位。这对应的正多边形的边数达到了2^62——也就是正4611686018427387904 边形。

（圆：有考虑过我的感受么？）

当然，算完这个的鲁道夫也是非常有成就感，还把 3.14159265358979323846264338327950288 刻在了自己的墓碑上。这也是为什么，今天德国人常常称圆周率为 "鲁道夫数"。

分析人：我爱无穷派

几何人的割圆法简单直观，就是太——费劲。所以到了1666 年，23 岁的牛顿引入了一种全新的方法后，没有人再执着于割圆了。彼时彼刻正如此时此刻——疫情横行（英国瘟疫爆发），赋闲在家的牛顿就寻思：整点啥活呢？那就从最简单的二项式开始吧：

这是当时的人们已经知道的二项式定理，但认为n 只能取正整数。所以牛顿想要拓展它，去寻找新的边界。

其实观察一下系数的形式不难发现，只有当 n 取正整数时，展开式的项数才是有限的；所以，当牛顿把 n 换成了负整数和分数后，本来是有限项的二项式，就变成了一个无穷级数。在证明了 n 的确可以取负整数和分数后，他非常开心——因为他脑海里还有另一个方程：

也就是

牛顿：艾玛，这不就是我的二项式定理嘛（

艾萨克 · 牛顿

来源：baijiahao

所以，当二项式定理中的n 取 1/2，x 换为 ( -x2 ) 时，就有了 y 的无穷级数表达式：

可是这和 π 有什么关系呢？还记得 "流数术" 吗——也就是微积分，牛顿刚好在前一年把它提出来。这不，趁热将微积分与无穷级数配合食使用：左边将 y 从 0 → 1 积分，得到1/4 个圆的面积，也就是π/4；而右边每一项，都是简单的幂函数求积分。积分后就能得到 π 的无穷级数表达式，可以精确到小数点后任意位数：

从此以后，π 的求解打开了新世界的大门。

利用三角 / 反三角函数的级数表达式，π 的计算得到了更简练、也更实用（更快收敛）的表达。其中，最具应用价值的应该是 1706 年，英国数学家梅钦（John Machin）提出 "梅钦公式"，直接将 π 值的计算突破100 位小数大关：

接下来，许多 " 类梅钦公式 " 如同雨后春笋般涌出，形式与上式一致，仅仅是系数和项数的调整。人工计算圆周率的最高纪录是 π 的小数点后 808 位，由弗格森（英）和伦奇（美）于 1948 年共同发表。

计算机：吃得越多越能耐

紧接着自然而然地，到了计算机时代。然后自然而然地，人类开摆，计算机开始比赛！这里小编为大家罗列了一部分里程碑事件 :

1950 年

世界第一台电脑 ENIAC 计算出 π 的2037个小数位，用时70 小时；

1955 年

海军兵器研究计算机 IBM NORC 计算出 π 的3089个小数位，用时13 分钟；

1973 年

电脑 CDC 7600 计算出 π 的100 万个小数位；

1989 年

巨型电子计算机 Cray-2 和 IBM-3090/VF 计算出 π 的4.8 亿个小数位；

2010 年

日本科学家近藤茂将家用计算机与云计算结合，计算出 π 的5 万亿个小数位；

2019 年

3 月

谷歌工程师爱玛利用谷歌云平台计算出 π 的31415926535897个小数位（约31.4 万亿），历时4 个月；

2021 年 8 月

瑞士 DAViS 团队创下最新记录，将 π 计算到小数点后62.8 万亿位，历时108 天。

眼瞅着这精度逐渐走向离谱 ...... 其实对计算机来说，π 究竟是多少无所谓的，重要的还是通高精度计算来测试计算机处理能力。如果你还好奇计算机是用什么公式计算 π的，欢迎快进到参考文献 [ 9 ] ，试试用自己的电脑能不能算叭！

π：没戳，我的精度就是 ( 电脑的标 ) 尺！

来源：新浪微博

物理人：一切皆可派

在物理人眼里，π 是多少也无所谓，重要的还是和小滑块一起玩（bushi

所以， 我们是否可以让小滑块自己撞出一个 π来呢？

假设一个质量为m的小物块在一光滑水平面上，左边是墙，右边是一个质量为M = Nm的大物块（N > 1 ) 。假设向左为正方向，碰撞为完全弹性碰撞。初始状态下，小物块静止，大物块速度为 v > 0。假设小物块与大物块第 i 次碰撞后，二者的速度分别为为 ui 和 vi, 于是第 i 次小物块与墙壁碰撞后速度为 −ui。

大小物块碰撞模型

来源：3Blue1Brown

由能量守恒定理：

我们发现第二个方程是一个形如 x2+y2=1 的圆方程，这意味着每一次碰撞后的大小物块的速度，都对应单位圆上的一个点。设

于是大小物块运动状态对应的点就在单位圆上折返前行 , 从最右侧到最左侧。

接下来要求这个过程中小物块总的碰撞次数，这个运用一下动量守恒定理就 ok 啦：

由此可以看出，相位角 α 在每次碰撞后都改变了相同的角度！因此，单位圆会被这些状态点按角度均匀分割。当 N → ∞ 时，

有

这里我们考虑到半圆对应的相位角为 π, 当状态点对应的相位角 αi 增加到 π 时，碰撞过程就停止了，imax 就是总的大小物块间的碰撞次数。需要注意，因为碰撞次数 i 只能取整数，所以第二个等式只是近似相等。

由上面的公式，小物块与大物块的碰撞总次数为 0.5πN1/2, 而小物块与墙也会碰撞这么多次，所以整个过程中，小物块碰撞次数为 πN1/2。当N 取 100 的幂次方倍时，小物块的碰撞次数就会显示出圆周率啦。

喵星人：吃派属于常态

终于，在小编要收工的时候，卫生间里传来了一阵熟悉的诡秘声音——

《 世 界 名 画 》

来源：见水印

以前总觉得这是 "没有一只猫咪抵挡得住卫生卷纸的诱惑"；而今天看来 ……猫咪极有可能是在计算 π！所用的公式大概就是——卷纸的总长度为

其中 n 为卷纸的层数（中间变量），

算得

l ——卷纸总长度

R ——卷纸外径

r ——卷纸内径

t ——单张卷纸厚度

所以只要测出了以上四个量，就能估计 π 值了！所以猫主子咬卷纸 = 测量卷纸半径 R 和 r，猫主子把卷纸缠身上 = 测量卷纸总长度 l ——猫主子喜欢玩卷纸的谜团解开，以后请不要打扰它！

毕竟小猫咪能有什么坏心思呢？

来源：TIGGER FUNNYWORKS

" 这题我会哦，喵 ~"

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