「数学」最古老的数学问题有了新的解

原文标题：最古老的数学问题有了新的解

我们从一个没那么复杂的问题开始。如果有一组正整数，你能从中挑出几个数字，使它们的倒数之和恰好等于 1 吗？

比如，这里有 {2，3，7，14，15，18，21，29，32，36} 10 个数字组成的一个数集，我们可以选择其中的 2、3、12、18、36，就能得到

事实上，这类问题很有可能正是最古老的数学问题之一，它们可以追溯到公元前 1650 年左右的古埃及数学典籍《莱因德数学纸草书》，其中记录了古埃及人如何将有理数表示为单位分数之和。

《莱因德数学纸草书》。| 图片来源：Wikimedia Commons

单位分数就是分子是 1 的分数，或者也可以说是正整数的倒数，它们是当时古埃及数字系统中唯一一类分数，他们需要用单位分数来表示其他更复杂的分数，比如将 3/4 写作 1/2 和 1/4 的和。

有趣的是，到了 20 世纪 70 年代，有关这类分数的问题再次引起了一些数学家的兴趣。当时，数学家埃尔德什（Paul Erd s）和格雷厄姆（Ronald Graham）在探索想要设计出不满足条件的整数集有多难，也就是说，一个整数集中不能有任何子集，其倒数之和等于 1。

如果用数学术语更确切地描述，埃尔德什和格雷厄姆提出猜想，

埃尔德什 - 格雷厄姆问题。

我们稍后可以更详细地来看看这个埃尔德什 - 格雷厄姆问题中的各种数学细节。但先说一则好消息，在这个猜想提出约半个世纪后，牛津大学数学家Thomas Bloom证明了它。

埃尔德什 - 格雷厄姆问题

埃尔德什和格雷厄姆提出的猜想中有一些基本的条件。首先，数集 A 是自然数集的子集，同时，它还涉及一个相对复杂的数学概念，也就是正密度。可以这样简单理解，无论你怎么数下去，都存在一种非零的概率，会遇到集合 A 中的一个数字，那么 A 就具有正密度。

在满足条件的这样一个数集 A 中，一定存在子集 S，其中所有数的倒数之和等于 1。

举个简单的例子，A 是一个包含所有大于 1 的奇数的集合，它属于自然数集的子集，并满足正密度的条件，因为无论你数到 10 亿还是 100 亿，也一定会遇到奇数。然后，我们可以在 A 中找到有限子集 S = {3，5，7，9，11，33，35，45，55，77，105} ，而所有这些数的倒数相加恰好等于 1。

这理解起来并没有那么困难，但证明它显然就变成另一回事了。那就变成了一个大得多、复杂得多的问题。对不少数学家来说，似乎找不到什么显而易见的数学工具来解决它。

在前人基础上的创新

尽管这个问题已经提出了很久，但 Bloom 是在一个偶然的机会才知道它。去年 9 月，在一次作业中，Bloom 被要求在牛津的一个读书会中介绍讨论一篇 20 年前的论文。这篇研究来自数学家Ernie Croot，他解决了所谓的埃尔德什 - 格雷厄姆问题的着色版本。

这是一种更弱的证明。可以这么理解，在着色版本中，整数被随机地分类，指定放到不同颜色的桶中。猜想预测，无论这种分类中用到了多少个桶，至少会有一个桶包含一个倒数之和等于 1 的整数子集。

在着色版本中，整数会被随机分到不同 " 桶 " 里。

Croot 这篇发表于 2003 年的论文引入了来自调和分析的强大的新方法，那是一个与微积分密切相关的数学分支。他的论文也受到了广泛赞誉。

着色版本和密度版本非常相似，但它们在一个非常重要的方面却有所不同。在着色问题中，整个数集 A 被分成了不同的 " 桶 "，具体的分割方法并不重要。数学家要证明的是，有一个 " 桶 " 里的数字满足条件。这正是 Croot 在论文里构建的证明，表明了至少会有一个 " 桶 " 里包含足够多具有低素因子的数字，用数学术语来说就是光滑数（smooth number），从而满足定理。

这可以看作证明的一条捷径，但在密度版本中，这样的捷径并不存在。当 Bloom 看到这篇证明后，却认为这种方法要比人们普遍认为的更强，那实际上证明了密度问题的一个特例。Bloom 谦虚地表示，他所做的 " 只是又推了一下那扇已经打开的门 "。

粗略来说，先前的证明依赖于一类被称为指数和的整数。指数和可以分成两个部分，分别是优弧贡献，也就是我们可以明确计算并且很大的部分，以及劣弧贡献，也就是我们不知道如何计算，但能证明很小的部分。

先前证明的巧妙之处在于，Croot 想到了一种思考劣弧贡献的新方法，把它变成了一类不同的问题。他没有试图计算数值，而是研究了这个集合中倍数是如何沿着数轴分布的。

在此基础上，Bloom 将它进一步改进成适用于密度版本，进行了更多 " 局部 " 处理。在 Bloom 的新论文中，他将自己的方法解释为 "Croot 引入的方法的一种更强形式 "。

同时，Bloom 没有直接寻找倒数之和为 1 的答案，而是先找到了倒数相加更小的数集，然后再把它们当作 " 零件 "，最终构建出想要的答案。这进一步帮助简化了过程。

将古老的问题带入现代

Bloom 的新证明受到了许多数学家的赞赏，但这显然不是数集与和的问题探索的终点。

数论一直在寻找数字中的隐藏结构。当数论学家遇到一种似乎无可避免的数字模式时，他们会不断测试这种模式的稳定程度，探索它的边界和极限，从而挖掘出埋藏在数字中的新信息。

在过去 20 年间，组合与分析数论都有了很大发展，让数学家能够以全新的视角看待许多古老的问题。同时，在计算机的帮助下，以更严格的方式检验证明也成为可能。

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